Author: Jeff Moehlis
por Jeff Moehlis
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O filme "21" é a história dos alunos do MIT que "contam cartas" para melhorar sua probabilidade de ganhar o jogo de cartas Blackjack em casinos. Não surpreendentemente, esse filme tem muita matemática nele. O mais óbvio é a "contagem dos cartões", que é baseada nas técnicas publicadas no livro 1962 de Edward O. Thorpe "Beat the Dealer". As discussões sobre o método e a matemática da "contagem de cartões" são descritas em vários outros sites. Neste site, você pode aprender sobre outras idéias matemáticas que aparecem no filme. Espero que isso aumente a sua satisfação do filme e talvez ensine algumas matemáticas!
A série Fibonacci
Em "21", quando Ben Campbell (interpretado por Jim Sturgess) comemora seu aniversário, o bolo diz
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Estes são os primeiros termos da série Fibonacci, que foi usado como exemplo no livro Liber Abaci publicado em 1202 por Leonardo Fibonacci. Isto é obtido primeiro escrevendo os números "0, 1", depois definindo cada número subseqüente como a soma dos dois números anteriores na série. Assim, o terceiro número da série é 1 = 1+0, o quarto número é 2 = 1+1, o quinto número é 3 = 2 + 1, etc. O próximo número no bolo seria 21=13+8, para o 21º aniversário de Ben. Inteligente, hein? (Hmmm, "21" se refere ao Blackjack ou a idade de Ben?) Ben terá que esperar até ele estar 34 = 21+13 para o próximo aniversário de "Fibonacci".
Pode-se definir outras séries de Fibonacci especificando números diferentes nos dois primeiros slots. Por exemplo, a série Fibonacci começando com "2, 5" é
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ...
O problema do Monty Hall
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Há três portas, e atrás de um deles é um carro, enquanto os outros dois são cabras. Se você escolher a porta com o carro por trás, você ganha o carro. Agora, diga que você escolhe a Porta 1. O anfitrião Monty Hall abre a Porta 2 ou a Porta 3, atrás da qual é uma cabra. (Ele sabe o que está por trás de cada porta e nunca abre a porta com o carro por trás disso.) Monty agora lhe dá a escolha: quer ficar com a Porta 1 ou mudar para a outra porta. O que você deveria fazer? Ou isso importa?
Uma pergunta semelhante é colocada para Ben Campbell (interpretado por Jim Sturgess) pelo professor Micky Rosa (interpretado por Kevin Spacey) no filme "21". Sem hesitação, Ben responde corretamente, o que convence a professora Rosa de que Ben seria uma boa adição ao seu "time de contagem de cartas". Antes de ler, tente responder isso sozinho.
Um resolve esse problema comparando a probabilidade de escolher o carro se você ficar com sua escolha original com a probabilidade de escolher o carro se você mudar depois de Monty abrir a única porta. Observe que o carro tem uma probabilidade igual de 1/3 de estar atrás da Porta 1, Porta 2 ou Porta 3.
Primeiro, suponha que sua estratégia seja manter seu original Escolha da Porta 1. Então você só ganha se o carro estiver atrás da Porta 1, então sua probabilidade de ganhar é 1/3.
Em seguida, suponha que sua estratégia seja mudar de porta. Nós dividimos isso em três casos:
Então, se sua estratégia for trocar de porta, você ganha 2/3 = 1/3 + 1/3 do tempo. (Lembre-se, a probabilidade é 1/3 de que o carro está atrás de uma porta particular.) Portanto, uma estratégia melhor é mudar de porta - as probabilidades calculadas indicam que você tem duas vezes mais chances de ganhar se você fizer isso! A resposta correta de Ben no filme "21" indica que ele é uma boa pessoa para "contar cartas". Não só mostra que ele é inteligente, mas também demonstra que ele percebe que é melhor ir com a escolha que maximiza sua probabilidade de ganhar. Essa realização é essencial para o sucesso dos "cartões de contagem" para o Blackjack.
Em 1990, uma pergunta semelhante apareceu em uma carta a Marilyn vos Savant's Pergunte a Marilyn coluna em Parada (que vem em alguns jornais do domingo). Marilyn deu a resposta correta, mas muitos leitores (incluindo professores de matemática) acreditavam que isso estava incorreto. Então, não sinta muito mal se você entendeu errado quando respondeu por si mesmo. Mas agora você sabe!
O método de Newton-Raphson
Você pode lembrar de uma classe de álgebra que as soluções para a equação
são dados pela fórmula quadrática
Suponha, em vez disso, que você queira encontrar um valor para x que resolvem a equação algébrica geral
f(x) = 0.
Esse valor para x é chamado de raiz de f(x). Exceto por escolhas especiais de f(x), tal como f(x) = a x2 + b x + c como acima, não se pode encontrar as raízes usando operações algébricas.
No filme "21", o professor Micky Rosa (interpretado por Kevin Spacey) está dando palestras sobre o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes de f(x). Isto foi desenvolvido independentemente por Isaac Newton e Joseph Raphson na década de 1600. A idéia é adivinhar uma raiz da equação (vamos chamá-la x0), então, use esse palpite para gerar um valor para x (vamos chamar isso x1) que é (espero) mais perto da raiz do que o palpite original. Isso é feito desenhando a linha tangente para a função f(x) em x=x0, e tomando x1 como o valor para x em que esta linha reta passa por zero. (Para aqueles que conhecem o cálculo, você reconhecerá que essa linha tangente é determinada pela derivada de f(x).) Ao iterar este procedimento repetidamente para gerar x2, x3, etc, um (espero) obtém valores que são melhores e melhores aproximações para a raiz. Eu continuo dizendo "espero" porque o método Newton-Raphson nem sempre é bem sucedido, embora seja mais provável que seja se você fizer um bom palpite inicial. Esta figura ilustra o método:
Este método foi desenvolvido bem antes dos computadores, mas resulta ser ideal para implementação em um computador: um usa um loop para gerar valores sucessivos de xn.
Cartões de contagem