Original Article: Nonlinear Autoregressive Models and Fingerprints
Author: Jonathan D. Victor
Modelos Auto-regressivos Não-Lineares e Impressões Digitais
Introdução: Modelos Auto-regressivos Lineares
Em um modelo auto-regressivo linear de ordem R, uma série de tempo yn é modelada como uma combinação linear de R valores anteriores na série temporal, com a adição de um termo de correção xn – 
aj yn-j .
Os coeficientes auto-regressivos aj (j = 1, … R) são adequados ao minimizar a diferença média-quadrada entre a série de tempo modelada ynmodelo e as séries de tempo observadas yn. O processo de minimização resulta em um sistema de equações lineares para os coeficientes an, conhecido como as equações de Yule-Walker [Yule, G.U. (1927) Sobre um método de investigar periodicidades em séries perturbadas com referência especial aos números de manchas solares de Wolfer. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 226, 267-298].
Conceitualmente, a série de tempos yn é considerada a saída de um circuito discreto de feedback linear conduzido por um ruído xn, no qual os laços de atraso do atraso j têm força de feedback aj. Para os sinais Gaussianos, um modelo auto-regressivo geralmente fornece uma descrição concisa da série temporal yn e o cálculo dos coeficientes aj fornece um método indireto, mas altamente eficiente, de estimativa espectral.
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Modelo Não-Linear
Em um modelo auto-regressivo não linear completo, os termos quadráticos (ou de ordem superior) são adicionados ao modelo auto-regressivo linear Um termo constante também é adicionado, para contrariar qualquer deslocamento líquido devido aos termos quadráticos:
ynmodel = xn – a0 -aj yn-j -
bj,k yn-jyn-k.
Os coeficientes autorregressivos aj (j = 0, … R) e bj,k (j, k = 1, …., R) são adequados ao minimizar a diferença média-quadrada entre a série de tempo modelada ynmodel e a observada séries temporal yn. O processo de minimização também resulta em um sistema de equações lineares, que são generalizações das equações de Yule-Walker para o modelo linear auto-regressivo.
Conceitualmente, a série temporal yn é considerada a saída de um circuito com feedback não-linear, conduzido por um ruído xn. Em princípio, os coeficientes bj,k descrevem características dinâmicas que não são evidentes no espectro de potência ou medidas relacionadas.
Embora as equações dos coeficientes auto-regressivos aj e bj,k sejam lineares, as estimativas desses parâmetros são muitas vezes instáveis, essencialmente porque um grande número deles deve ser estimado.
Esta é a motivação para a impressão digital NLAR.
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Impressões Digitais NLAR
A fim de criar a impressão digital não-linear auto-regressiva (NLAR), apenas um único termo do modelo quadrático completo é mantido, juntamente com o termo constante::
ynmodel = xn – a0 - aj yn-j – bu,v yn-uyn-v.
Os coeficientes auto-regressivos aj (j = 0, … R) e o coeficiente único bu,v são ajustados ao minimizar a diferença média-quadrada entre as séries temporais modeladas em ynmodel e as séries temporais observadas yn. Isso envolve a estimativa de apenas parâmetros de R + 2 (em comparação com equações (R + 1) (R + 2) / 2 para o modelo auto-regressivo quadrático) completo) e valores substancialmente mais confiáveis para os parâmetros. No entanto, como o modelo auto-regressivo quadrático completo, isso fornece uma caracterização das dinâmicas não-lineares da série temporal.
O procedimento de ajuste é executado sequencialmente para todos os pares de atrasos u e v (u, v = 1, …., R). A “impressão digital NLAR” consiste (veja exemplo) de um mapa de contorno dos resíduos
|ynmodel – yn|2, Paramétrico na escolha dos atrasos u e v.
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Testes de Significância
A introdução de um termo adicional em um modelo auto-regressivo linear ou não linear melhora sempre o ajuste (no sentido médio-quadrado). Akaike [Akaike, H. (1974) Um novo olhar sobre a identificação do modelo estatístico. IEEE Trans. Auto. O controle AC-19.716-723] mostrou que, para um modelo auto-regressivo linear, uma melhora significativa no ajuste está associada a uma redução na variância residual de pelo menos 2V / N, onde V é a variância sem o candidato termo adicional e N é o número de pontos de dados.
Mostramos que o mesmo critério, uma redução na variância residual em pelo menos 2V / N, é um critério para o significado de um único termo não-linear também.