Original Article: Counting in Babylon

Author: Michael Fowler

Contando em Babilônia

A primeira língua escrita

Suméria e Babilônia, localizadas no atual Iraque, foram provavelmente os primeiros povos a ter uma linguagem escrita, começando na Suméria em cerca de 3100 a.C.. A linguagem continuou a ser escrita até o tempo de Cristo, mas depois foi completamente esquecida, até mesmo o nome Suméria tornou-se desconhecido até o século XIX.

Desde os tempos mais antigos, a linguagem foi usada para documentos comerciais e administrativos. Mais tarde, ela foi usado para escrever épicos, mitos, etc, que antes tinham sido provavelmente transmitidos pela tradição oral, como a Epopéia de Gilgamesh.

Pesos e medidas: 60 em todos os lugares!

Em cerca de 2500 a.C., pelo Real Edict, pesos e medidas foram padronizados na Babilônia. Esta foi uma decisão prática de negócios, que sem dúvida eliminou muita tensão no mercado.

A menor unidade de peso foi o grão (cerca de 45 miligramas). Que uso era esse? No início, a moeda era de fato “barleycorn”! O shekel era 180 grãos (aproximadamente ¼ onça), o mina 60 shekels, e o talento 3600 shekels (aproximadamente 67 libras). Mais detalhes aqui.

1 talento = 60 minas= 3600 shekels= approx. 60 lbs.
1 mina= 60 shekels= approx. 1 lb.
1 shekel= 180 grains= approx. 0.25oz.
1 grain= approx. 45 mg.

A menor unidade de comprimento foi – surpresa – o barleycorn, chamada “ela”, cerca de 1/10 polegadas.

Em seguida veio o “dedo”, ou shu-si, igual a 6 ela, cerca de 2/3 de uma polegada.

O côvado (ou kush) era de 30 dedos, cerca de 20 polegadas.

O côvado (ou kush) era de 30 dedos, cerca de 20 polegadas.

O cordão ou corda (usado no levantamento) era de 120 côvados, 200 pés, ou seja, 3.600 dedos.

A liga (também chamada fase e beru) era de 180 cordas, cerca de sete quilômetros.

A unidade básica de área era o sar, um nindan quadrado, 400 pés quadrados, uma parcela de jardim.

O gin foi 1/60 sar.

Em 2000 a.C., houve um calendário com um ano de 360 ​​dias, 12 meses de 30 dias cada, com um mês extra jogado em cada seis anos ou assim para manter sincronizado com observações astronômicas. (De acordo com Dampier, Uma História de Ciência, Cambridge, página 3, o dia foi dividido em horas, minutos e segundos, e o relógio de sol inventado. Isso implica que este é cerca de 2000 a.C.. Não diz quantas horas em um dia, e Neugebauer (As Ciências Exatas na Antiguidade, Dover, página 86) afirma que os egípcios foram os primeiros a chegar a vinte e quatro).

O círculo foi dividido em 360 graus.

Note que todos esses padrões de medição incluem múltiplos de 60 freqüentemente – obviamente, 60 era o número favorito dos babilônios.


Sistemas Numéricos: Nosso, o Romano e o Babilônico

Para apreciar o que constitui um bom sistema de contagem, vale a pena rever brevemente nosso próprio sistema e o dos romanos. O sistema romano é, de certa forma, mais primitivo que o nosso: X sempre significa 10, C significa 100 e I significa 1. (Você pode estar pensando: isso não é verdade – eles invertem números para indicar subtração, como IV para 4. Na verdade, parece que eles não, eles usaram IIII, e IV é mais recente.Há um artigo sobre tudo isso na Wikipedia.)

Em contraste, no nosso sistema 1 pode significar 1 ou 10 ou 100 dependendo de onde aparece na expressão – o 1 em 41 significa uma quantidade diferente do 1 em 145, por exemplo. Dizemos que o valor de um símbolo tem “dependência posicional” – seu valor real depende de onde na expressão aparece. Nossa convenção, como você bem sabe, é que o número para a extrema direita em nosso sistema é o número de 1, o número à sua esquerda imediata é o número de 10, à esquerda do que vem o número de 10 × 10, Em seguida, de 10 × 10 × 10 e assim por diante. Usamos o mesmo conjunto de símbolos, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 em cada uma dessas posições, então o valor desse símbolo em um número depende de sua posição nesse número .

Para expressar quantidades menores que 1, usamos a notação decimal. Colocamos um ponto (em alguns países é usada uma vírgula) e entende-se que o número à esquerda imediata do ponto é o número de 1, que à direita imediata o número de décimos (10-¹ ‘s em notação matemática), o próximo número é o número de centésimos (10-² ‘s) e assim por diante. Com esta convenção, ½ é escrito .5 ou 0.5 e 1/5 é .2. Infelizmente, 1/3 torna-se .33333 …, inconvenientemente, e 1/6 e 1/7 também continuam para sempre. (Na verdade, esse sistema decimal com o ponto é, historicamente falando, um invento recente – foi criado por um escocês chamado Napier há cerca de 400 anos).

Para voltar a comparar o sistema romano com o nosso, note que os romanos não tinham um 0, zero. É por isso que é importante ter um símbolo diferente para dez e um, X e I são facilmente distinguidos. Se não tivéssemos um zero, um e dez seriam representados por 1, embora possamos distingui-los em uma coluna de figuras colocando-os em colunas diferentes.

Após essas observações preliminares, estamos prontos para olhar o sistema babilônico. É escrito em tabletes de argila – é por isso que ainda temos cópias originais ao redor!

Seu sistema de numeração tem apenas dois elementos básicos, o primeiro dos quais é claro ao examinar os nove primeiros números:

Evidentemente, estes nove números são todos construídos de um único elemento, uma marca facilmente escavada com uma torção de um pau na argila macia, e o número de vezes que este elemento é repetido é o número representado. As barras utilizadas para fazer as marcas foram em forma de cunha, os números 10, 20, 30, 40, 50, são representados pelos símbolos:

É claro que novamente temos a simples repetição de um elemento básico, que convenientemente representaremos por <, e novamente é uma marca não difícil de fazer na argila macia. Assim, qualquer número entre 1 e 59 é representado por um símbolo a partir do segundo diagrama seguido no caso usual por um do primeiro diagrama, então 32 seria escrito <<< 11, possivelmente com o < mais elegantemente organizado.

Quando chegam a 60, os babilônios começam de novo de forma semelhante à nossa partida de novo em 10. Assim, 82 é escrito como 1 << 11, onde o primeiro 1 representa 60.

Assim, o sistema babilônico é baseado no número 60 da mesma maneira que o nosso é baseado em 10. Nosso sistema é chamado de “decimal”, seu sistema “sexagesimal”.

Existem alguns problemas reais com o sistema de números babilônico, sendo o principal que ninguém pensou em ter um zero, então os sessenta e um parecem exatamente iguais, isto é, ambos são representados por 1! Na verdade, é ainda pior – uma vez que não há ponto decimal, a maneira de escrever 1/2, que escrevemos 0,5, por cinco décimos, eles escreveriam <<<, para trinta e sessenta – mas sem zero, é claro, e nenhum ponto sequer. Então, se nós vemos <<< em um comprimido de argila, não sabemos se ele significa 1/2, 30 ou para que o assunto 30 × 60, ou seja, 1800.

Isto é, na verdade, não tão ruim quanto parece – sessenta é um fator muito grande, e geralmente será claro a partir do contexto se <<< deve ser interpretado como 1/2 ou 30. Também, em colunas de figuras, um <<< representando 30 foi colocado à esquerda de <<< representando 1/2.

Frações

Na vida real transações comerciais, adição simples e até mesmo multiplicação não são tão difíceis na maioria dos sistemas de número. A parte mais difícil é a divisão, ou seja, trabalhar com frações, e isso surge sempre que os recursos devem ser divididos entre vários indivíduos. O sistema babilônico é realmente maravilhoso para frações!

As frações mais comuns, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 todas são representadas por um único número (1/2 = <<<, 1/3 = <<, 1/5 = <11, etc.). Ou seja, essas frações são números exatos de sexagésimos - sessenta é o número mais baixo que divide exatamente por 2, 3, 4, 5 e 6. Esta é uma grande melhoria no sistema decimal, que tem recorrências infinitas para 1/3 E 1/6, e mesmo ¼ precisa de dois números: .25.

(É claro, mesmo na Babilônia, eventualmente, somos forçados a ir para o segundo número “sexagesimal”, que seria o número de sessenta dos sessenta, ou seja, de três mil e seis centésimos. Por exemplo, 1/8 é de sete sessenta e meia, assim seria escrito como sete seguido por trinta – por sete sessenta e sessenta e sessenta de um sexagésimo e 1/7 é tanto de uma dor de cabeça como é em nosso próprio sistema.)

Tabelas matemáticas antigas: Recíprocas

A fim de tornar sua contabilidade tão indolor quanto possível, os babilônios tinham tabelas de matemática: tabuletas de argila com listas inteiras de recíprocos. O recíproco de um número é o que você tem que multiplicá-lo para obter 1, então o recíproco de 2 é 1/2 escrito 0,5 em nosso sistema, o recíproco de 5 é 1/5 escrito 0,2 e assim por diante.

O ponto de ter tabelas recíprocas é que dividir por algo é o mesmo que multiplicar pelo recíproco, então usando as tabelas você pode substituir divisão por multiplicação, o que é muito mais fácil.

Exemplos de tábuas de argila sobreviventes de tabelas recíprocas babilônicas têm esta aparência:

11 <<<
111 <<
1111 <11111
11111 <11
11111111 1111111 <<<

Temos enganado um pouco aqui – os números 4, 5, 6, etc. em ambas as colunas devem realmente ter seus 1 empilhados como na primeira figura acima. Quão bom é o seu babilônico? Confira esta tabela: a coluna da esquerda é 2, 3, 4, 5, 8, a coluna da direita representa a fração correspondente, ½, etc., em babilônico.

Quão práticas são os pesos e medidas babilônicas?

Tomemos como exemplo quanta comida uma família precisa. Se eles consomem 120 shekels de grãos por dia, por exemplo, isso é 12 talentos de grãos por ano. (Um talento = 3600 shekels). Basta imaginar o cálculo paralelo agora: se a família consome 30 onças de grãos por dia, o que é isso em toneladas por ano? Se você foi transportado para a Babilônia de quatro mil anos atrás, você iria quase perder sua calculadora! (É certo que o cálculo babilônico é um pouco mais difícil a cada seis anos, quando eles jogam um mês extra).

Teorema de Pitágoras Mil Anos antes de Pitágoras

Algumas das tabuletas de argila descobertas contêm listas de trigêmeos de números, começando com (3, 4, 5) e (5, 12, 13) que são os comprimentos de lados de triângulos de ângulo reto, obedecendo a fórmula de “somas de quadrados” de Pitágoras . Em particular, uma tabela, agora na Coleção Babilônica de Yale, esta fotografia de Bill Casselman, mostra uma imagem de um quadrado com as diagonais marcadas, e os comprimentos das linhas são marcados na figura: o lado está marcado <<< significado Trinta (dedos?) de comprimento, a diagonal é marcado: <<<< 11 << 11111 <<< 11111. Isso se traduz em 42, 25, 35, significando 42 + 25/60 + 35/3600. Usando estas figuras, a relação do comprimento da diagonal ao comprimento do lado do quadrado trabalha para fora para ser 1.414213 …

Agora, se usarmos o teorema de Pitágoras, a diagonal de um quadrado forma com dois dos lados um triângulo de ângulo reto e se tomarmos os lados para ter o comprimento um, o comprimento da diagonal ao quadrado é igual a 1 + 1, então o comprimento da diagonal é a raiz quadrada de 2. A figura na tabuleta de argila é incrivelmente precisa – o valor verdadeiro é 1.414214 … Naturalmente, este valor babilônico é muito preciso para ter sido encontrado pela medição de um desenho preciso – ele foi claramente verificado por multiplicação aritmética por si só, dando um número muito próximo de dois.

Links

St AndrewsMinha opinião sobre Triplos pitagóricos babilônios