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Author: Douglas Zare

Finalidades do Gamão

Matemáticos olham para o mundo com um tanto de estranheza. Estamos interessados em coisas obscuras, nós derivamos grande satisfação de estar certos sobre coisas que outros tomam como certo ou nunca pensam sobre, e frequentemente podemos aplicar essas para fazer declarações interessantes sobre o “mundo real” (muito para nosso embaraçamento). Espero que você concorde que este como uma dessas declarações interessantes.

Teorema (Curt McMullen, 1994): Finalidades do gamão com probabilidade 1.

Isto é, se alguém usa dados aleatórios (mesmo ligeiramente tendenciosos), e qualquer estratégia de jogo legal (mesmo tentando perder), então a probabilidade que o jogo tenha terminado no nono movimento fica arbitrariamente próximo de 1 conforme n aumenta. Há algum movimento tal que a chance de que o jogo termine nesse movimento é de pelo menos 99%, pelo menos 99.999%, etc. então a chance de que um jogo continue para sempre é 0.

Esse resultado, como grande parte da matemática, envolve pouca computação. Não vi os detalhes escritos em nenhum lugar ainda, mas esse resultado deveria ser acessível para qualquer jogador sério de gamão. Usarei 3 passos para demonstrar o teorema.

Passo 1: Deixe-nos imaginar uma variação: O Jogador A escolhe o dado, e o Jogador B tem que fazer um movimento legal. É suficiente para mostrar que o este jogo modificado é uma vitória para o Jogador A enquanto a posição inicial é legal.

Passo 2: Neste jogo modificado, de qualquer posição legal, o Jogador A pode escolher o dado para que não estejam ambos jogadores na barra. (Isso pode ser feito em 20 jogadas.)

Passo 3: De qualquer posição em que não estejam ambos jogadores na barra, o Jogador A pode terminar o jogo tirando 2-4 suficiente vezes em sequência. (9000 é suficiente vezes.)

Por que basta mostrar que o dado pode terminar o jogo? Deixe-nos supor que de qualquer posição, algum número fixado “n” de jogadas cuidadosamente escolhidas irão terminar o jogo. (Nós podemos pegar n para ser o número máximo de jogadas necessárias sobre um conjunto finito de possibilidades de posições legais no gamão, se tivéssemos um valor para cada posição). Há uma chance de pelo menos 1/36^n de que o dado irá se comportar como jogado pelo Jogador A para n jogadas. Não é muito, mas suponha que não aconteça. Então após a primeira jogada, se o jogo continuar acontecendo, terá novamente uma chance de pelo menos 1/36^n de que o dado irá se comportar como jogado pelo Jogador A. Para o jogo continuar, deve continuar evitando essas chances de 1/36^n. Isso irá acontecer por um tempo, mas com probabilidade 1, eventualmente a probabilidade do evento 1/36^n irá ocorrer, e o dado irá se comportar como possuído. Se a loteria é justa e você continua jogando, eventualmente você irá ganhar, e irá ainda vencer frequentemente ilimitadamente.

Certo, então como pode um jogador controlando o dado terminar o jogo? Primeiro, o Jogador A pode conseguir pelo menos um jogador fora da barra. Isso é fácil suficiente de fazer se a posição é legal; pode ser que ambos jogadores estejam bloqueados. Então se um jogador não está bloqueado, dê a eles um duplo de um número que está aberto. Se isso tirar todos aquelas peças dos jogadores da barra, então podemos seguir para o próximo passo. Se não, então 4 peças saíram da barra, e no máximo um foi atingido. Então há agora pelo menos 3 peças a menos na barra. Alguém pode dar uma estimativa melhor, mas visto que há 30 peças no total então depois de no máximo 10 trocas (20 jogadas) pelo menos um jogador não irá ter peças na barra.

Finalmente, se pelo menos um jogador não está na barra, então repetidamente tirar 2-4 irá acabar o jogo. Parte da ideia de Curt McMullen era que, neste caso, pelo menos um jogador deve ser capaz de jogar parte de um 2-4. Se você fez pontos 2 e 4 marcas à frente de uma peça minha, então você tem um 2 para jogar, do ponto 4 até o ponto 2 em frente. Você pode não ser capaz de jogar se você está na barra, mas então ou você move-se para fora da barra ou eu diz pontos 2 e 4 marcas na sua frente, meus pontos 2 e 4. Então a única maneira possível em que ambos iríamos estar presos sob esta enxurrada de 2-4’s é se ambos estivéssemos na barra com nossos pontos de 2 e 4 feitos. Isso não pode acontecer de uma posição na qual um jogador não está na barra por uma sequência de jogadas 2-4, visto que o único jeito de ambos jogadores estarem na barra é se um for retirado da barra, e se você me acertar vindo da barra com um 2-4 deve ser que meu ponto 2 ou 4 não esteja feito. Então embora talvez seja o caso que ambos jogadores estejam na barra, sob sucessivos 2-4’s começando de uma posição na qual no máximo um jogador está na barra e pelo menos um jogador possa se mover.

Certo, mas e se os jogadores apenas continuarem mandando um ao outro de volta? Agora a segunda parte da ideia de Curt McMullen entra em ação: Quando você é atingido, sua peça vai para a barra, que é seu ponto 25. De agora em diante, essa peça será sempre em um ponto ímpar se o dado sempre mostrar 2-4. Seus pontos ímpares são os pontos ímpares do seu oponente, então uma vez que uma peça sua é atingida, pode atingir uma peça em um dos pontos ímpares do seu oponente. Embora a contagem de casas possa oscilar, em alguns sentidos há progresso sendo feito: uma peça em um ponto par deve avançar eventualmente e não pode ser enviada de volta a um ponto par. Isso sugere usar uma contagem modificada de casas que decresce a cada troca ou em que golpes não são feitos.

Defina a contagem de casas modificada ser a contagem de casas de peças em pontos ímpares mais 12.5 vezes a contagem de casas em pontos pares.

b ..BB.. …… …… a….a .

Por exemplo, na posição acima, a contagem de casas modificada para branco é de 6 casas ímpares mais 12.5 vezes 8 casas pares = 106. Para azul, há 51 casas ímpares e 12.5 vezes 6 casas pares, então a contagem de casas modificada é 126. A contagem de casas modificada total é 106 + 126 = 232.

A contagem de casas modificada decresce com cada 2 ou 4 jogado:

Se nenhuma peça foi atingida, claramente a contagem de casas diminui em pelo menos 2, visto que nem as casas ímpares nem as casas pares diminuíram 2 ou 4.
Se você capturar ao mover uma peça em um ponto ímpar seu, deve atingir uma peça em um ponto par do adversário. Seu total de casa ímpar diminui pelo menos 2. A peça capturada contribui pelo menos 25 casas (2×12) para a contagem modificada do seu oponente, e agora contribui exatamente 25 (na barra), então a contagem modificada do seu oponente fica a mesma ou diminui. Então o total modificado diminui em pelo menos 2.
Se você capturar ao mover uma peça em um ponto par seu, deve atingir uma peça em um ponto ímpar do adversário. Isso diminui sua contagem modificada em pelo menos 25 (2 casas pares vezes 12.5). A contagem modificada do seu oponente aumenta em no máximo 22 (de 3 a 25), então o total diminui em pelo menos 3.

Finalmente, a contagem de casas modificada de uma peça é a melhor quando está em 24 pontos, onde seu valor é 24 vezes 12.5 = 300. Há 30 peças, então o máximo possível de contagem de casas modificada é 300 vezes 30 = 9000. Com cada troca, a contagem modificada diminui em pelo menos 2, então depois de 9000 2-4’s em sequência (4500 trocas) a contagem modificada irá ter reduzido a 0, e o jogo irá acabar.

Então de qualquer posição legal, há pelo menos uma chance de 1/36^9020 de que o jogo irá acabar dentro das próximas 9020 jogadas, então gamão termina com probabilidade 1.

Claro, pode-se limitar as estimativas um tanto, e escolhas mais inteligentes feitas pelo jogador A iria terminar o jogo muito mais cedo. Do ponto de partida, 8 5-5’s seguido por 11 6-6’s iria acabar o jogo. Um poderia usar 3-6 ao invés de 2-4. A prova não pode ser limitada muito visto que é possível para o jogo durar 500 jogadas de 2-4. Esse método de prova também não fornece limite prático na duração de um jogo, já que o universo irá acabar antes de metade da vida de um jogo de gamão que acaba com probabilidade 1/36^9020 a cada 9020 jogadas. Além disso, qualquer gerador de números aleatórios digital irá eventualmente repetir, e é possível que um jogo jogado usando um gerador poderia repetir também.

Por outro lado, esse resultado significa que não deveria haver empates no gamão. Se há um limite no cubo ou em uma partida jogada, a jogada perfeita existe, e não importa quão absurda a posição parece, há alguma equivalência que poderia-se teoricamente atribuir à posição. Não sei você, mas irei dormir melhor essa noite sabendo disso.