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Quais são alguns desafios na imagem sísmica?

Uma localização de um ponto A dentro da terra pode ser descrito em qualquer um dos dois sistemas de coordenadas:

Coordenadas de profundidade, à esquerda acima, dê uma localização de um ponto A dentro da terra em termos de sua posição no topo e profundidade abaixo. Em contraste, as coordenadas de tempo, mostradas à direita, pensam em cada ponto A sob a superfície da Terra como correspondente a um par (x₀, t₀): se você imaginar uma onda começando no ponto A, x₀ é onde primeiro atinge a superfície terrestre, e t₀ é o momento em que isso acontece. Embora possa ser contra-intuitivo, os dados sísmicos são mais naturalmente registrados em coordenadas de tempo em vez de coordenadas de profundidade.

As duas abordagens principais para a imagem sísmica produzem modelos para as velocidades subterrâneas: o primeiro é um processo chamado migração de tempo, que tira dados sísmicos em coordenadas de tempo e produz imagens e velocidades de migração de tempo, que são uma velocidade média de um tipo específico. O segundo, migração em profundidade, leva dados sísmicos em coordenadas profundas e produz imagens sísmicas em coordenadas profundas. 

• Funciona melhor em áreas onde a velocidade sísmica depende apenas da profundidade, ou seja, a velocidade do som é constante ao longo das linhas horizontais. No entanto, os fenômenos mais interessantes, incluindo a presença de petróleo subterrâneo, tendem a ocorrer nas áreas onde as estruturas horizontais planas dentro da Terra estão distorcidas;

• Tranformar essas imagens e informações das coordenadas de tempo para coordenadas cartesianas (profundas) regulares é sutil e não óbvio nos casos em que a velocidade não é horizontalmente constante e de fato depende das coordenadas laterais.

Em contrapartida, a migração em profundidade produz imagens nas coordenadas cartesianas regulares e pode ser aplicada quando há distorção lateral considerável nas estruturas subterrâneas. No entanto, é preciso começar com coordenadas de velocidade sísmica em profundidade para aplicar a migração de profundidade: esta velocidade sísmica nunca é conhecida, e geralmente é encontrada por "adivinhar e tentar".

O problema inverso

Para o caso horizontalmente constante, a relação entre as velocidades sísmicas e as velocidades de migração do tempo v_m(x, t) foi derivado por C.H. Dix em 1955:

v_Dix(x, t) = ( ( t v_m(x, t)²)_t )^1/2, where (x, t) são as coordenadas de tempo.

Para usar a migração em profundidade, gostaríamos de entender como o tempo de velocidades de migração se relaciona com velocidades sísmicas verdadeiras no caso geral de velocidade horizontalmente variável. As velocidades Dix v_Dix(x, t)calculado a partir das velocidades de migração do tempo v_m(x, t) pela fórmula acima, servem como uma entrada mais conveniente. Em última análise, enfrentamos um problema inverso:

Métodos de inversão

Fizemos o seguinte:

• Primeiro, produzimos uma relação teórica entre a velocidade de migração do tempo e a verdadeira velocidade sísmica em 2D e 3D: descobrimos que os dois estão ligados através de um certo ponto chamado espalhamento geométrico Q. Em 2D, essa relação é

v(x, t) = v_Dix(x, t)Q(x, t).

• Em segundo lugar, usando as equações de M. M. Popov para a evolução temporal de Q e nossa relação acima, derivamos uma PDE elíptica não-linear para Q nas coordenadas de tempo.

(Q_t f^-2Q^-2)_t = - f ^-1Q^-1 ( (fQ)_x Q^-1)_x onde f ≡ v_Dix.

• Na superfície da terra Q = 1 e Q_t = 0. Portanto, a configuração física nos permite representar apenas o problema Cauchy para esta PDE, que é bem conhecido por ser mal posado.
Além disso, esta PDE ilumina a alta sensibilidade do problema. Os coeficientes dependem não apenas da entrada (a velocidade de Dix), mas também de suas derivadas primeira e segunda.