Original Article: A Piece of PI
Author: Philip J. Erdelsky
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Um pedaço de π

Philip J. Erdelsky

26 de julho de 2001

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A matemática contém muitas constantes transcendentais interessantes, mas apenas uma delas era conhecida pelos antigos. Isto é π, a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo.

Arquimedes foi o primeiro matemático a calcular um valor aproximado para π. Os valores anteriores foram baseados em medições físicas de precisão limitada.

Usaremos o método de Arquimedes para calcular um valor aproximado de π, Usando apenas a matemática conhecida por Arquimedes. Entretanto, nós estaremos fazendo nossos cálculos em um computador, e nós obteremos um valor muito mais exato do que ele.

Os antigos não tinham uma teoria muito boa de limites; Nem a maioria dos não-matemáticos. Mas algumas coisas são bastante óbvias. Um polígono regular com muitos lados é aproximadamente um círculo. Seu perímetro é aproximadamente a circunferência do círculo, e sua área é aproximadamente a área do círculo. Quanto mais lados o polígono tiver, mais precisa a aproximação. Se o polígono tiver lados suficientes, pode-se obter qualquer grau de precisão desejado.

Figure 1

Para encontrar um valor aproximado para π, nós inscreveremos polígonos regulares em um círculo de raio 1. Os perímetros dos polígonos podem ser calculados em alguns casos, usando nada mais avançado do que o teorema de Pitágoras, que era conhecido por Arquimedes. Em particular, se sabemos o comprimento de cada lado do polígono regular com n lados, podemos calcular o comprimento de cada lado do polígono regular com 2n lados.

Na Figura 2, AB ser um dos n lados de um polígono regular inscrito em um círculo com O e um raio de uma unidade de comprimento. Deixei s a duração de AB.

Figure 2

Deixe OCD ser a bissetriz do ângulo AOB. Então triângulos AOC e BOC são congruentes; Daí os ângulos em C são ângulos retos e AC = CB. assim sendo,

  • h = s/2
  • z = √(1-h2)

O perímetro do polígono é ns e o diâmetro do círculo é 2. Daí o valor aproximado de π e ns/2.

Os segmentos de linha AD e BD são lados de um polígono inscrito com 2n lados. O comprimento de cada um é

  • √(h2 + (1-z)2))

No caso em que n = 6, nós sabemos isso s = 1. Este é um fato bem conhecido, mas daremos uma breve prova. Porque o hexágono é regular, todos os seis ângulos no centro são iguais. O ângulo ACB está inscrita num círculo, por isso é metade do ângulo interceptado AOB, Qqe é igual a dois dos seis ângulos. Daí o ângulo ACB e igual ao ângulo BOC. Os lados opostos OB e BC Também são iguais. Argumentos semelhantes mostram que todos os outros lados são tão longos quanto o raio do círculo.

Figure 3

Tudo o que temos a fazer é aplicar esta fórmula repetidamente para obter valores para n = 12, 24, 48, 96, etc.

Um programa de computador simples, como o seguinte programa C ++, irá executar esses cálculos rapidamente.

     #include <stdio.h>
     #include <math.h>

     void main(void)
     {
       double s = 1.0;
       double n = 6.0;
       puts("number of sides    approximate value of pi");
       while (n < 500000000.0)
       {
         printf ("%9.0f          %18.16f\n", n, n*s/2.0);
         double h = s / 2.0;
         double z = sqrt(1.0 - h * h);
         s = sqrt(h * h + (1.0 - z) * (1.0 - z));
         n *= 2;
       }
     }
Os resultados se parecem com isso:
     Número de lados    Valor aproximado de pi
             6          3.0000000000000000
            12          3.1058285412302489
            24          3.1326286132812378
            48          3.1393502030468667
            96          3.1410319508905098
           192          3.1414524722854624
           384          3.1415576079118579
           768          3.1415838921483186
          1536          3.1415904632280505
          3072          3.1415921059992717
          6144          3.1415925166921577
         12288          3.1415926193653840
         24576          3.1415926450336911
         49152          3.1415926514507682
         98304          3.1415926530550373
        196608          3.1415926534561045
        393216          3.1415926535563719
        786432          3.1415926535814380
       1572864          3.1415926535877046
       3145728          3.1415926535892713
       6291456          3.1415926535896630
      12582912          3.1415926535897611
      25165824          3.1415926535897856
      50331648          3.1415926535897913
     100663296          3.1415926535897931
     201326592          3.1415926535897931
     402653184          3.1415926535897931

Arquimedes, com nada melhor do que um ábaco para computar com, teve que parar em 96 lados.